实现复数及一些基本的运算
在C/C++中，有一个头文件complex，里面实现了复数和一些运算，但是我们不用它，自己写一个复数类。需求：实现四则运算、输入输出和一些复数版本的数学函数运算
如图为最终效果：
第一行为-5开平方，第二行为我们输入的复数，然后对其进行运算并输出。
main文件中的代码：
#include "Complex.h"
using std::cout, std::cin, std::endl;
int main() {
cout << "已知负数-5，开平方为：" << csqrt(-5) << endl;
//Complex z(a, b)为定义一个复数z=a+bi (b可以为负数)
Complex z;
cin >> z;
cout << "输入的复数" << z << endl;
cout << "复数" << z << "的模为" << z.abs() << endl;
cout << "复数" << z << "的主辐角为" << z.argz() << endl;
cout << "复数(" << z << ")+(2+3i) = " << z + Complex(2, 3) << endl;
cout << "复数(" << z << ")-(2+3i) = " << z - Complex(2, 3) << endl;
cout << "复数(" << z << ")*(2+3i) = " << z * Complex(2, 3) << endl;
cout << "复数(" << z << ")/(2+3i) = " << z / Complex(2, 3) << endl;
cout << "sqrt(" << z << ") = " << csqrt(z) << endl;
cout << "exp(" << z << ") = " << exp(z) << endl;
cout << "ln(" << z << ") = " << log(z) << endl;
cout << "sin(" << z << ") = " << sin(z) << endl;
cout << "cos(" << z << ") = " << cos(z) << endl;
cout << "tan(" << z << ") = " << tan(z) << endl;
return 0;
}
那么，开始吧！
第一步：创建Complex类
复数的标准形式为z=a+bi，所以我们需要两个字段：实部r和虚部img
因此代码为：
class Complex {
public:
//我们需要实现的一些功能
private:
double r;
double img;
};
构造函数：我们允许通过调用构造函数Complex(a,b)来创建复数a+bi，因此在public中写一个构造函数，参数为a,b并给出定义：
Complex::Complex(double Real, double Imageine)
{
r = Real;
img = Imageine;
}
Rel()和Img()函数：两个成员函数，分别返回z的实部和虚部，这里就不做介绍了
模：成员函数abs()为返回复数的模，也很简单，直接return sqrt(r * r + img * img);就行
辐角：一个复数的辐角有无数个，这里只返回主值。根据百度对辐角的定义，完成代码：
double Complex::argz()
{
const double pi = 3.141592654;
if (this->r == 0 && this->img == 0) throw std::domain_error("Undefined");
if (this->r > 0) return atan(this->img / this->r);
else if (this->r == 0 && this->img > 0) return pi / 2;
else if (this->r == 0 && this->img < 0) return -pi / 2;
else if (this->r < 0 && this->img >= 0) return atan(this->img / this->r) + pi;
else if (this->r < 0 && this->img < 0)return atan(this->img / this->r) - pi;
else return NAN;
}
第二步：重载输入、输出运算符
重载输出运算符：在头文件中定义友元函数operator<<，然后在cpp文件中实现
注意：重载的输出运算符并不是简单的cout <<z.r<<"+"<<z.img<<"i";，而是会根据实部、虚部的符号进行输出，例如Complex(0,4)会输出4i而不是0+4i，Complex(1,-2)会输出1+-2i
分析思路：
如果z.r==0（纯虚数），那就判断img的符号，如果是正就直接cout <<z.img<<"i";，否则就cout <<"-"<<-a.img<<"i";
标准形式同理，根据虚部的符号进行输出，代码：
ostream& operator<<(ostream& os,const Complex& a) {
if (a.img == 0) os << a.r; //如果不是一个复数，就直接输出实部
if (a.r == 0) {
if (a.img > 0) os << a.img << "i";
else if (a.img < 0) os << "-" << -a.img << "i";
}
else {
if (a.img > 0) os << a.r << "+" << a.img << "i";
else if (a.img < 0) os << a.r << "-" << -a.img << "i";
}
return os;
}
这样，我们就能直接cout << z来输出一个复数
重载输入运算符：这个应该是最复杂的了，我写了好久才勉强写出来一个石山代码，具体思路是用string存储输入，使用正则表达式判断是否为复数的输入格式，如果不是就直接抛出一个异常，是的话就分别将实部和虚部（包括符号）拷贝到一个char*中，然后使用std::stod转换为double类型存储到z.r和z.img中。这样输入a+bi时都会被识别为一个复数，缺点就是输入纯虚数bi时还是要输入0+bi、虚部为1时1不能省略。代码如下：
istream& operator>>(istream& is, Complex& a)
{
std::string input;
is >> input;
std::regex complex("^(0|[-+]?\\d+(\\.\\d+)?)([-+]?\\d+(\\.\\d+)?)i?$");
bool is_complex = std::regex_match(input, complex);
if (!is_complex) throw std::exception("Invalid complex number!");
int s = 1;
char Real{ 0 };
char Img{ 0 };
//考虑到第一位如果是符号
Real = input;
for (int i = 1; (input < '9' && input > '0') || input == '.'; i++) {
if (i > 48) break;
Real = input;
s++;
}
Img = input;
for (int i = 1; (input <= '9' && input >= '0') || input=='.'; i++) {
if (i > 48) break;
Img = input;
s++;
}
a.r = std::stod(Real);
a.img = std::stod(Img);
return is;
}
这样，我们就能够直接cin>>z;来按照a+bi的格式输入一个复数
第三步：重载一些基本的数学函数
首先想到的就是梦开始的地方：根号
由于sqrt函数已经被定义了，因此这里创建一个sqrt的扩展版函数csqrt，它接受一个参数x作为被开方数，x可以是任何实数，代码如下：
Complex __cdecl csqrt(double x)
{
if (x >= 0) return Complex(sqrt(x), 0);
else return Complex(0, sqrt(-x));
}
这样，如果被开方数非负，返回虚部为0的数，为负数就返回sqrt(-x)i
根据能得到s^z即pow函数的定义
但是呢，我们还是需要先给出log(z)的定义，想要log(z)的定义，我们还需要补充log(x)在x<0的定义(开始套娃)
log(x)在x=0处无定义，在x<0时多值，这里只考虑主值
log(-x)(x为正数)都可以化为log(x)+log(-1)，所以只需根据欧拉公式的指数形式替换-1=i^2得到log(i)的值然后再次替换即可得到log(-1)的值，代码如下：
Complex __cdecl clog(double x)
{
//ln(-1) = pi*i
Complex logngo(0, 3.141592654);
if (x > 0) return Complex(log(x), 0);
else if (x < 0) return logngo + Complex(log(-x), 0);
else throw std::domain_error("Undefined");
}
注意：在此之前要先重载+-*/运算符，因为比较简单，就不提了
然后根据log(z)的定义即可完成代码，这里使用的定义可能不一样，但返回的结果是一样的。代码如下：
Complex __cdecl log(const Complex& x)
{
if (x.img == 0) return clog(x.r);//Complex(log(x.r), 0);
const double pi = 3.141592654;
if (x.r == 0) return clog(x.img) + Complex(0, pi / 2);
double xita = atan(x.img / x.r);
return clog(x.r / cos(xita)) + Complex(0, xita);
}
完美，这下可以写pow函数，也可以重载sqrt函数使它支持复数作为被开方数
如果你看懂了，你可以尝试：
根据复三角函数的定义重载sin、cos、tan、exp函数
完成pow函数的代码编写
完 几乎忘完了{:1_896:} 复习下基础知识，有个台湾的老师讲的不错
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