本帖最后由 Lifetimer 于 2020-7-19 18:53 编辑
前言
这是我和我的一个朋友讲牛顿迭代法求解方程的根时写的文字，想了想还是发出来给大家看看。
因为我快要期末考试了，没时间作图了，现在只写一个文字描述，那天有时间再补图。
也有可能补不了，因为我是高中生，学业繁忙。
注意事项
好像吾爱破解论坛的markdown编辑器不支持latex公式语法呀，我的公式显示不出来，如果真是这样的话，你可以凑合着来看，结合源码应该很容易看懂，我也没时间处理这个了。
如果版主看到觉得不妥，可以直接删帖，不必通知我
基本步骤
1.给定一个函数
2.求导
3.给定一个点
4.求该点切线方程
5.求解切线方程y=0时x的取值
6.将x对应于原函数生成一个点
7.重复第4步
1.给定一个函数
在生成程序时就直接定义（计算器高级一些所以可能有正则表达式搜索自动识别函数
2.求导
我只展示多项式求导
3.给定一个点
用户自行输入，不必多说
定义为 $x_{a}$
4.求该点切线方程
由微积分知识易得，(运用点斜式方程)
$$y-f(x_{0})=f^{'}(x_{0})(x-x_{0})$$
5.求解y=0时x的取值
易解得：
$$x=\frac{0-f(x_{0})}{f^{'}(x_{0})}+x_{0}$$
即为
$$x=x_{0}-\frac{f(x)}{f^{'}(x)}$$
6.将x对应于原函数生成一个点
该点为 $(x,f^{'}(x))$
7.回到第四步
开始写算法
可见，牛顿迭代法的核心是给定一个点后不断地：
4.求该点切线方程
5.求解y=0时x的取值
6.将x对应于原函数生成一个点
所以我们可以编写一个函数double newton(double x);
原始函数定义（此处以二次方程为例）
double a,b,c;
//表示方程为 ax^2+b^x+c=0
导函数定义（此处以二次方程为例）
double k,b;
//表示方程为 y=kx+b
其中，k=a*2,b=b
newton函数编写
double newton(double x){
double yuanf = a*x*x+b*x+c; // 原函数
double daof = k * x + b; //导函数
double chu = yuanf/daof; //原函数/导函数
x = x - chu;
return newton(x);
}
结合实际情况，我们可以对Newton函数进行优化。
newton函数优化
double newton(double x){
if(tip == goal){
double yuanf = a*x*x+b*x+c; // 原函数
double daof = k * x + b; //导函数
double chu = yuanf/daof; //原函数/导函数
x = x - chu;
tip++;
return newton(x);
}
return x;
}
全局变量的声明
double a=0,b=0,c=0;//原函数
double k=0;//导函数斜率
int tip = 0,goal;//当前迭代次数、预期迭代总数
main函数的编写
int main(){
cout << "请输入a，b，c";
cin >> a >> b >> c;
cout << "请输入目标迭代总数";
cin >> goal;
int x;
cout << "请先给出一个x：";
cin >> x;
k = a * 2;
double result = newton(x);
cout << "迭代次数为：" << tip << "结果为" << result;
return 0;
}
最终整理出我们需要的牛顿法
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
double a = 0, b = 0, c = 0;//原函数
double k = 0;//导函数斜率
int tip = 0, goal;//当前迭代次数、预期迭代总数
double newton(double x) {
if (tip == goal) {
return x;
}
double yuanf = a * x * x + b * x + c; // 原函数
double daof = k * x + b; //导函数
double chu = yuanf / daof; //原函数/导函数
x = x - chu;
tip++;
return newton(x);
}
int main() {
cout << "请输入a，b，c";
cin >> a >> b >> c;
cout << "请输入目标迭代总数";
cin >> goal;
int x;
cout << "请先给出一个x：";
cin >> x;
k = a * 2; //由微积分知识易得
double result = newton(x);
cout << "迭代次数为：" << tip << "结果为" << result;
return 0;
}
emm 大概就是这样了吧。
新增部分
还是去VScode截了一张图将那个latex公式没识别出来的地方展示一下：
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发表于 2020-7-19 17:28
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发表于 2020-7-19 19:08
