【入门dp】力扣鸡蛋掉落问题和转账问题的关系初探

hans7

题目

我昨晚偶然编出了一道水题，名为转账问题：已知银行卡里有不超过n元，你想把卡里所有钱提到某信支付，但你无法看到卡里的钱，你只能执行若干次转账i元的操作，每次看到转账成功与失败的提示。问至少需要操作多少次。n和i是自然数。形式化描述：你的策略y是一段代码，初始输入为n，代码对于实际的i = 1~n元各有一个需要的猜测次数x[i]，则y = max(x[i] for i in range(1, n + 1))，所求为min(y for y in y_set)。

本文CSDN：https://blog.csdn.net/hans774882968/article/details/131749241

本文juejin：https://juejin.cn/post/7255967761805197349

本文52pojie：https://www.52pojie.cn/thread-1809085-1-1.html

作者：hans774882968以及hans774882968以及hans774882968

思路

尝试转i元，1 <= i <= n。如果成功，则知道卡里不超过n - i元；如果失败，则知道卡里不超过i - 1元。因此定义dp[i]为已知银行卡里有不超过i元时的最少操作次数。边界条件：dp[0~2] = 0~2。状态转移方程：dp[i] = min(max(dp[i - j], dp[j - 1]) + 1) for j in range(1, i + 1)。

接下来考虑优化这个dp转移。有一个很明显的单调性：v1 < v2时dp[v1] <= dp[v2]。i - j单减，j - 1单增，因此取i - j == j - 1的j即为最优点。

• 若i为奇数，则dp下标取到(i - 1) // 2。
• 若i为偶数，则dp下标取到(i - 1) // 2 + 1。

取到下标可统一为i // 2。因此转移方程可以简化为：dp[i] = dp[i // 2] + 1。对于n，答案居然就是n二进制数位的个数！

于是有推论：最优策略为：总是尝试转i - i // 2 = (i + 1) // 2元。

与力扣鸡蛋掉落问题的关系

鸡蛋掉落问题传送门

经群友提醒，这个问题从状态转移方程的角度来看，和鸡蛋掉落问题的k = +∞的情况类似。两个问题从题面来看不像，但它们有一个相同点：1次操作无论获得什么反馈，都能缩小问题规模。因此我们写了下面的代码，验证k = n, n+1, n+2的情况下所得的dp数组不仅相等，还等于转账问题的dp数组。

代码

import numpy as np

def main():
    N = 2001

    dp1 = [[0] * N for _ in range(N + 2)]

    def egg_drop(k, n):
        for j in range(1, n + 1):
            dp1[1][j] = j
        for i in range(2, k + 1):
            best = 1
            for j in range(1, n + 1):
                while best <= j and dp1[i][j - best] > dp1[i - 1][best - 1]:
                    best += 1
                dp1[i][j] = 1 + min(dp1[i][j - best + 1], dp1[i - 1][best - 1])

    dp2 = np.array([0] * N)

    def bin_count(n):
        for i in range(1, n + 1):
            dp2[i] = dp2[i // 2] + 1

    dp3 = np.array([N] * N)

    def n2_dp(n):
        dp3[0] = 0
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, i + 1):
                dp3[i] = min(dp3[i], max(dp3[i - j], dp3[j - 1]) + 1)

    egg_drop(N + 1, N - 1)
    bin_count(N - 1)
    n2_dp(N - 1)
    ans1 = np.array([dp1[i][i] for i in range(N)])
    ans2 = np.array([dp1[i + 1][i] for i in range(N)])
    ans3 = np.array([dp1[i + 2][i] for i in range(N)])
    assert (ans1 == dp2).all() and (ans2 == dp2).all() and (ans3 == dp2).all() and (dp2 == dp3).all()
    print('dp2 ', dp2[:101])
    print('dp3 ', dp3[:101])
    print('ans3', ans3[:101])

if __name__ == '__main__':
    main()

hanghaidongchen

有点没看懂那个转帐问题

hans7

hanghaidongchen 发表于 2023-7-16 17:44
有点没看懂那个转帐问题

可以先去看懂鸡蛋掉落问题，力扣里好的题解很多。看懂鸡蛋掉落问题后，我这个转账问题就秒懂了