关于IEEE754标准的浮点数为何采用((2^(k - 1)) - 1)作为修正量的若干说明

lizhirui

此文考虑到部分小伙伴的数学能力问题，特意留下了多个例子以说明表达式的含义
一些小伙伴在计算机组成原理课中学习过，浮点数的一般表示形式如下：


并且为了机器零的判定方便，阶码采用偏移值为(2 ^ (k - 1))（当k=8时为127）（这里的k指的是整个阶码（包含阶符）的位数，下同）的移码，即若是一个k位数x，则其移码为x + 2^k
但是，IEEE754标准中的移码却采用了((2^(k - 1)) - 1)（当k=8时为127）这一偏移值，这个值正好比上述标准少1，这是为什么呢？

首先，我们看一下IEEE754标准的浮点数结构：



不知道你们有没有注意到一点：
在一般浮点数的定义中，阶码（不包含阶符）的部分采用原码表示（此处不讨论补码、反码形式的情况），这就出现了一个问题，机器0有两个：分别是1,000....00000和0,000....00000
而采用(2 ^ (k - 1))修正时，相当于只是改变了阶符


并且，其表示范围实际为-((2^(k - 1)) - 1)~((2^(k - 1)) - 1) （若k=8，则范围为-127~127），那么如何解决有机器0的问题同时方便比较呢？
那就是将（-(((2^(k - 1)) - 1)~((2^(k - 1)) - 1)） + ((2^(k - 1)) - 1) = 0~(2^k) - 2（若k=8，则等效于(-127~127) + 127 = 0~254）
IEEE754就是这样处理的，这样可以用一个k位无符号数来表示一个阶码，但是你有没有注意到，阶码中有一个数没有被使用，那就是((2^k) - 1)（当k=8时为255）。

IEEE754标准中做了如下设计：
当阶码为2^k - 1（当k=8时为255）且尾数为0时，这个数的真值为无穷大（正负由数符决定），
当阶码为2^k - 1且尾数不为0，这不是一个数（NaN，这个结果通常由0/0等未定义运算产生）
同时，IEEE754标准为了节省尾数的位数和方便规格化，还假定了小数点左边有一个隐含的“1”，因此为了表示机器0，IEEE754规定当阶码为0且尾数为0时，表示机器0

wencongwei1998

感谢总结，已复习！

chen4321

谢谢分享，解释的很好