【概率论】关于概率论多元件测试问题的分析

lizhirui

关于概率论多元件测试问题的分析

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问题

假设有n个元件，其中恰有k个元件是好的，另外n-k个元件是坏的，已知对于好的元件而言检验出是好的元件的概率为p，对于坏的元件而言检验出是好的元件的概率为q，问全部元件检验结果都是好的的概率？

问题解答

将第i个元件是好的这一事件记为$A_i$
将第i个元件被认为是好的这一事件记为$B_i$
则从题目可知，
$P\{B_i|A_i\}=p\ \ P\{B_i|\overline{A_i}\}=q$
$P\{A_iA_j\}=P\{A_i\}P\{A_j\}(i\not=j)\ \ P\{B_iB_j\}=P\{B_i\}P\{B_j\}(i\not=j)$
$P\{A_iB_iA_jB_j\}=P\{A_iB_i\}P\{A_jB_j\}(i\not=j)$
若我们用$AM_i$表示可能是$A_i$或
$\overline{A_i}$
且保证
$\prod_{i=1}^{i=n}AM_i$
正好有$k$项为$A_i$
则全部元件检验结果都是好的的概率为

$$P\{\prod_{i=1}^{i=n}B_i|\sum_{m=1}^{m=C_n^k}\prod_{j=1}^{j=n}AM_j\}$$

$$=\frac{P\{(\prod_{i=1}^{i=n}B_i)(\sum_{m=1}^{m=C_n^k}\prod_{j=1}^{j=n}AM_j)\}}{P\{\sum_{m=1}^{m=C_n^k}\prod_{j=1}^{j=n}AM_j\}}$$

$$=\frac{\sum_{m=1}^{m=C_n^k}P\{\prod_{i=1}^{i=n}AM_iB_i\}}{\sum_{m=1}^{m=C_n^k}P\{\prod_{i=1}^{i=n}AM_i\}}$$

因为对于
$\forall{m}\ \ P\{\prod_{i=1}^{i=n}AM_j\}=\frac{1}{C_n^k}\ \ P\{\prod_{i=1}^{i=n}AM_iB_i\}为与i无关的常数$
所以上式

$$=\frac{C_n^kP\{\prod_{i=1}^{i=n}AM_iB_i\}}{C_n^kP\{\prod_{i=1}^{i=n}AM_i\}}$$

$$=\frac{P\{\prod_{i=1}^{i=n}AM_iB_i\}}{P\{\prod_{i=1}^{i=n}AM_i\}}$$

由于独立性，

$$=\frac{\prod_{i=1}^{i=n}P\{AM_iB_i\}}{\prod_{i=1}^{i=n}P\{AM_i\}}$$

$$=\prod_{i=1}^{i=n}P\{B_i|AM_i\}$$

$$=P\{B_i|A_i\}^kP\{B_i|\overline{A_i}\}^{n-k}$$

$$=p^kq^{n-k}$$

证毕

总结

若某个事件的子事件之间的发生是独立的且各个子事件的发生概率是相同的，则该事件的发生概率与这些子事件的发生顺序无关且等于任意一个子事件的发生概率。

田田爱崽崽

我做错了什么，逛个破解论坛，你还要给我看概率论的证明

数学就

公式的排版？

zhanhaoxin159

概率论上学期我考过了

tcl数学本

厉害厉害

lizhirui

数学就 发表于 2019-6-24 20:32
公式的排版？

论坛貌似不支持Latex公式

wushaominkk

欢迎大佬来寒舍赏光